tính tổng dãy số lũy thừa

Dãy lũy thừa cùng cơ số là dãy gồm tổng của nhiều lũy thừa có số a và số mũ liên tiếp, Vậy Công thức tính tổng dãy số lũy thừa toán lớp 6 như thế nào thì ở bài viết này chúng tôi sẽ giới thiệu cho các bạn tất cả các dạng toán cũng như công thức có trong chương trình học để vận dụng vào làm bài tập một cách chính xác nhất.

Để tính được tổng dãy số lũy thừa có quy luật thì cần phải có phương pháp giải. Đó là các phương pháp:

Phương pháp quy nạp và Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng dãy số

tính tổng dãy số lũy thừa

Các phương pháp tính tổng :

Phương pháp quy nạp
– Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

Sn = a1 + a2 + . . . +an (*)

khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 +3 +5 +. . . +(2n -1)

° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

– Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 – 1) = 1

Thử với n = 2, ta có: S2 = (2.1 – 1) (2.2 – 1) = 1 +3 = 4 = 22

Thử với n= 3, ta có: S3 = (2.1 – 1) (2.2 – 1) (2.3 – 1)= 1 +3 +5 = 9 = 32

… … …

– Ta dự đoán: Sn = 1 +3 +5 . . . (2n -1) = n2

Phương pháp quy nạp: Sn = 1 +3 +5 . . . (2n -1) = n2 (*)

Với n = 1; S1 = 1 (đúng)

Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

Sk =1 +3 +5 . . . (2k -1) = k2 (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k +1, tức là:

Sk +1 = 1 +3 +5 . . . (2k-1) (2k +1) = (k +1)2

Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

1 +3 +5 . . . +(2k -1) = k2

1 +3 +5 . . .+ (2k-1) + (2k +1) = k2 (2k +1) (cộng 2k+ 1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒ 1 +3 +5 . . .+ (2k-1) + (2k +1) = k2 + 2k +1 = (k +1)2

• Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

phương pháp quy nạp

 

 

 

 

 

 

 

Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng dãy số
– Giả sử cần tính tổng: Sn = a1 a2 . . . an (*) mà ta có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

a1 = b1 – b2

a2 = b2 – b3

… … …

an = bn – bn +1

⇒ Khi đó ta có: Sn = (b1 – b2) (b2 – b3) … (bn – bn +1) = b1 – bn +1

tính tổng

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dạng tổng quát:

dạng tổng quát

 

 

 

Ví dụ 2 : Tính tổng

tính tổng 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Chú ý :

CÁC DẠNG TOÁN TÍNH TỔNG DÃY SỐ LŨY THỪA

Với các dạng toán dưới đây, các em dùng phương pháp tính nêu ở trên để áp dụng vào giải.

1. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

Ví dụ 1: Tính tổng:

S = 1+2 +22 + . . . +2100 (*)

Cách 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100 – 2100)

⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101

⇒ S = 2101 – 1

Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)

⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101 (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22 +. . . +2100)

⇔ S = 2101 – 1.

Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Sn=1+a+a2+…+an;(a,n∈N,a>1,n≥1)

Sn=1+a+a2+…+an;(a,n∈N,a>1,n≥1)

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a.

Rồi TRỪ vế với vế ta được: Sn

Ví dụ :

Tính: S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

Hướng dẫn:

Ta có: 2S = 2(1 – 2 +22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101

⇔ 2S S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 3S = 2101 + 1.

tổng quát

 

 

Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Sn=1−a+a2−a3+…−a2n−1+a2n;

(a,n∈N,a>1,n≥1)Sn=1−a+a2−a3+…−a2n−1+a2n;

(a,n∈N,a>1,n≥1)

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a.

Rồi CỘNG vế với vế ta được: kết luận

Ví dụ 3: Tính tổng: S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102 (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 – 1

kêt luận 1

 

 

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Sn=1+ad+a2d+…+and;

(a,n,d∈N;a>1)Sn=1+ad+a2d+…+and;(a,n,d∈N;a>1)

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

sn 1

Ví dụ 4: Tính: S = 1 – 23 + 26 – 29 . . . +296 – 299 (*)

Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được: 23.

S = 23.(1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102 (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được: 8S

S = (23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102) (1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇔ 9S = 1 – 2102

kết luận 2

 

 

Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Sn=1−ad+a2d−a3d+…+and;(a,n,d∈N;a>1)

Sn=1−ad+a2d−a3d+…+and;(a,n,d∈N;a>1)

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

tổng quát 1

 

 

Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

Để đếm được số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị

ta dùng công thức: Số số hạng = [(số cuối – số đầu) : (khoảng cách)]

+ 1 Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị

ta dùng công thức: Tổng = [(số đầu + số cuối) . (số số hạng)] : 2

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

dạng toán tổng hợp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xem thêm tại đây :