Bài này chúng tôi sẽ tóm tắt nội dung hàm số lũy thừa là gì? Đạo hàm với số mũ tổng quát và khảo sát hàm số lũy thừa bao gồm các công thức, Đạo hàm với số mũ tổng quát và khảo sát hàm số lũy thừa mong rằng sẽ giúp được các em học sinh những kiến thức cơ bản nhất để vận dụng vào làm bài tập từ cơ bản đến nâng cao một cách chính xác nhất, Mời các bạn cùng tìm hiểu.
Xem thêm :
- Lũy thừa của một số hữu tỉ : Công thức và bài tập Toán lớp 7
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số toán học 12
- Tiệm cận của đồ thị hàm số, Cách giải tiệm cận bằng máy tính
Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y=xα(α∈R).
Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau,
tùy theo α:
– Nếu α nguyên dương thì tập các định là R.
– Nếu α nguyên âm hoặc α=0 thì tập các định là R∖{0}
.- Nếu α không nguyên thì tập các định là (0;+∞)
.Chú ý: Hàm số y=√x có tập xác định là [0;+∞), hàm số y=3√x có tập xác định R, trong khi đó các hàm y=x12,y=x13 đều có tập xác định (0;+∞). Vì vậy y=√x và y=x12 ( hay y=3√x và y=x13) là những hàm số khác nhau.
Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
– Hàm số y=xα có đạo hàm tai mọi x∈(0;+∞) và y′=(xα)′=αxα−1
– Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số y=uα(x) cũng có đạo hàm trên J và y′=[uα(x)]′=αuα−1(x)u′(x).
Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương
Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y=xn có tập xác định là R và có đạo hàm trên toàn trục số.
Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành
∀x∈R,(xn)′=nxn−1 và
∀x∈J,[un(x)]′=nun−1(x)u′(x)
nếu u=u(x) có đạo hàm trong khoảng J.
Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y=xn có tập xác định là R∖{0} và có đạo hàm tại mọi x khác 0,
công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành
∀x≠0,(xn)′=nxn−1 và ∀x∈J,[un(x)]′=nun−1(x)u′(x)
nếu u=u(x)≠0 có đạo hàm trong khoảng J.
Đạo hàm của căn thức
Hàm số y=n√x có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa y=x1n (tập xác định của y=n√x chứa tập xác định của y=x1n và trên tập xác định của y=x1n thì hai hàm số trùng nhau).
Khi n lẻ thì hàm số y=n√x có tập xác định R. Trên khoảng (0;+∞) ta có :
Công thức này còn đúng cả với x<0 và hàm số y=n√x không có đạo hàm tại x=0.Khi n chẵn hàm y=n√x có tập xác định là [0;+∞), không có đạo hàm tại x=0 và có đạo hàm tại mọi x>0 tính theo công thức:
Tóm lại, ta có 
đúng với mọi x làm cho hai vế có nghĩa.
Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu u=u(x) là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u(x)>0,∀x∈J khi n chẵn, u(x)≠0,∀x∈J khi n lẻ thì
Chú ý :
- Số chẵn số lẻ là gì? Số chẵn là những số nào, số lẻ là những số nào?
- Cực trị hàm nhiều biến, Cực trị có điều kiện và không điều kiện
Đồ thị hàm số y=xα trên khoảng (0;+∞)
Ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1:
Ví dụ 2 :
