GTLN và GTNN

Các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường xuyên có trong các bài tập cũng như các đề thi lớp 12 và đề thi quốc gia THPT với các dạng khác nhau. Bài này chúng tôi sẽ giới thiệu về định nghĩa và phương pháp giải của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, Hi vọng sẽ giúp các em nắm được kiến thức cơ bản để giải bài tập hiệu quả nhất.

Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D.

– Số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f trên D⇔{f(x)≤M,∀x∈D∃x0∈D sao cho f(x0)=M Kí hiệu : M=maxD f(x)

.- Số m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f trên D⇔{f(x)≥m,∀x∈D∃x0∈D sao cho f(x0)=mKí hiệu: m=minD f(x).

Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Định lí

Hàm số liên tục trên một đoạn thì có GTLN và GTNN trên đoạn đó

Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]

– Tìm các điểm xi∈(a;b)(i=1,2,…,n) mà tại đó f′(xi)=0 hoặc f′(xi) không xác định.

– Tính f(a),f(b),f(xi)(i=1,2,…,n).- Khi đó: max[a;b] f(x)=max{f(a);f(b);f(xi)};min[a;b] f(x)=min{f(a);f(b);f(xi)}

Chú ý

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

Các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D ta có thể sử dụng đạo hàm và kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với giá trị đặc biệt (ta gọi đó là các giá trị tới hạn). Giá trị tới hạn này thường là các giá trị tại các đầu mút của các đoạn hoặc là giá trị của hàm số tại các điểm mà không tồn tại đạo hàm.

Bài 1 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 3×2 – 9x + 2 trên đoạn [-2; 2].

Hướng dẫn giải:

hướng dẫn giải

 

 

 

 

 

 

Bài 2 :Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – sin⁡2x trên đoạn [π/2; π]

Hướng dẫn giải :

Ta có y’ = 1 – 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ.

Xét x ∈[(-π)/2; π] ta được x = ±π/6; x = 5π/6.

f((-π)/2) = -π/2; f(π) = π; f((-π)/6) = -π/6 + √3/2; f(π/6) = π/6 – √3/2; f(5π/6) = 5π/6 + √3/2.

Suy ra hướng dẫn

Bài 3 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đề bài 1

Hướng dẫn giải

giải bải 3

 

 

 

 

 

 

 

 

chú ý :