tích phân suy rộng 1

Trong toán học, Định nghĩa của tích phân suy rộng là giới hạn của một tích phân xác định như một điểm đầu nút của (các) khoảng lấy tích phân tiệm cận hoặc số thực xác định hoặc ∞ hoặc -∞  hoặc trong một số trường hợp, cả hai điểm đầu nút đều đạt đến các giới hạn. Một tích phân như vậy thường được viết tượng trưng giống như một tích phân xác định tiêu chuẩn, với vô cực như là một giới hạn của tích phân.Tích phân suy rộng bao gồm 2 loại là tích phân suy rộng với cận vô hạn (tích phân suy rộng loại 1) và tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn (tích phân suy rộng loại 2). Sau đây chúng ta cùng nhau đi tìm hiểu kỹ về định nghĩa này nhé.

 Một tích phân suy rộng là :

Giả sử f(x) xác định trên [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

tích phân giới hạn

 

 

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng tích phân giới hạn hội tụ

là hội tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng vô cùng

là phân kỳ (integral is divergent).

hoặc của dạng :

hoặc của dạng

 

 

trong đó tích phân nhận một giới hạn của một hay điểm đầu nút khác (hoặc đôi khi cả hai) (Apostol 1967, §10.23). Khi hàm không xác định tại nhiều điểm hữu hạn trong khoảng, tích phân suy rộng trên khoảng được định nghĩa là tổng các tích phân suy rộng trên các khoảng giữa những điểm này.

Ví dụ minh họa

Tính tích phân suy rộng tích phân suy rộng

Hướng dẫn giải :

Ta có : ta có

Trước tiên, Tính tích phân tích phân

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có: công thức tính tích phân từng phần

Thế vào (*) ta có: hội tụ

Vậy: I hội tụ và vậy

Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân tích phân quan trọng

Nếu S > 1 thì tích phân hội tụ

Nếu S < 1 thì tích phân phân kỳ

Xem thêm :

Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0

Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn). Khi đó:

– Nếu nếu

hội tụ thì tích phân hội tụhội

– Nếu Nếu 1

phân kỳ thì tích phân phân kỳ tích phân phân kỳ

Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn).

Nếu định lí 2

thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Nhận xét:

Để xét sự hội tụ của tích phân nhận xét

ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho sao cho

Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.

Muốn vậy, ta cần nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả hai hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích trên [a; + ∞).