Bất đẳng thức Cosi (Cauchy) có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ngoài ra bất đẳng thức Cosi còn có tên gọi là bất đẳng thức AM-GM. Chúng ta sẽ làm quen với bất đẳng thức này lần lượt từ lớp 8 đến lớp 9, 10 vì vậy các em nên nhớ công thức để ứng dụng vào bài tập kiểm tra trên lớp.
Bất đẳng thức Cosi
Khái niệm : Bất đẳng thức Cosi là khái niệm dùng để chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Trong đó, trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
Xem thêm :
Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Chứng minh:
Ta thấy với a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương mà thôi.
Bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Chứng minh : Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 thì bất đẳng thức luon đúng. Vì thế, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số dương mà thôi.
Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d.
Chứng minh : Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì thế chúng ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 4 số dương mà thôi.
Bất đẳng thức Cosi cho n số không âm
Với x1, x2,…, xn là n số thực không âm
Chứng minh : n=2 thì bất đẳng thức đúng, Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số.
Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2. Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:
Kết luận : Như vậy tại đây ta đã có thể có được các công thức bất đẳng thức cosi đầy đủ nhất và đã chứng minh được chúng đầy đủ nhất để các e có thể ứng dụng được vào bài tập và các câu hỏi trắc nghiệm từ lớp 8 đến lớp 10 nhé!