Các bài toán tính trọng tâm thì các em không thể bỏ qua cách tính trọng tâm của tam giác vì đây là các bài tập khá phổ biến trong bài học. Vậy trọng tâm tam giác là gì? Định nghĩa trọng tâm của tam giác vuông, cân, thường hay công thức và cách tính trọng tâm tam giác sẽ được gửi đến các bạn trong bài học ngày hôm nay.
Xem thêm : Tính chất đường trung tuyến trong tam giác
Trọng tâm tam giác là gì?
Trọng tâm của tam giác chính là giao điểm của ba đường trung tuyến.
Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Xem thêm: Công thức tính diện tích tam giác
Tính chất trọng tâm tam giác
Tính chất của trọng tâm tam giác là: Khoảng cách từ trọng tâm tới 3 đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Giả sử, tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là AM, BN, CP với G là trọng tâm như hình. Theo tính chất trên, ta có:
GA = 2/3 AM
GB = 2/3 AN
GC = 2/3 CP
Ngoài ra, chúng ta còn một số hằng đẳng thức khác liên quan đến trọng tâm tam giác. Xét theo khía cạnh, điểm G chia mỗi đường trung tuyến thành 3 phần bằng nhau.
Đối với đường trung tuyến AM
AM = 3 GM , AM = 3/2 AG , AG = 2GM , GM =1/2 AG…
Đối với đường trung tuyến BN, ta có:
BN = 3 GN , BN = 3/2B= BG, BG = 2 GN , GN = 1/2 BG…
Đối với đường trung tuyến CP
CP = 3 GP , CP = 3/2 CG , CG = 2GP , GP = 1/2 CG
Xem thêm : Trực tâm của tam giác
Cách tính trọng tâm của tam giác
Cách 1:
Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
Nối A với M ta được đường trung tuyến AM.
Tương tự với các đường trung tuyến còn lại.
Giao 3 đường trung tuyến là điểm G. Suy ra G chính là trọng tâm tam giác ABC.
Cách 2:
Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
Nối A với M ta được đường trung tuyến AM.
Trên đoạn thẳng AM lấy điểm G sao cho: AG = 2/3 AM
Vậy theo tính chất trọng tâm ta có G chính là trọng tâm tam giác ABC.
Trọng tâm của tam giác vuông, cân, đều…
Trọng tâm tam giác vuông
Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định như tam giác thường.
Xét tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Vì AI là đường trung tuyến của một góc vuông nên ta có: AI = 1/2 BC = BI = CI.
Suy ra, tam giác AIB và tam giác AIC lần lượt cân tại I.
Trọng tâm của tam giác đều
Trọng tâm của tam giác đều cũng có chút đặc biệt hơn những hình tam giác khác, để tìm hiểu điều đó, bạn hãy theo dõi ví dụ sau:
Đối với tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác. Vì vậy theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
Trọng tâm tam giác cân
Trọng tâm của một tam giác cân cũng được xác định giống tam giác thường.
Xét tam giác ABC cân tại A với G là trọng tâm. Khi đó, AG vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác và là đường cao của tam giác ABC này.
Ta có: AG vuông góc với BC. Suy ra, tam giác ACI và ABI lần lượt vuông tại I.
Trọng tâm của tam giác vuông cân
Để xác định được trọng tâm của tam giác vuông cân ta thực hiện như sau:
Xét tam giác ABC vuông cân tại A có I là trọng tâm. Tương tự như tam giác cân đã tìm hiểu ở trên, AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC.
Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên:
AB = AC.
Suy ra, BP = CN và BN = AN = CP = AP.
Chứng minh trọng tâm của tam giác
Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.
Chứng Minh
Gọi trung điểm MN, MP, PN lần lượt là R, O, S.
Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng tâm I.
Ta có ∆MNP đều, suy ra:
MS = PR = NO (1).
Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến:
MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2).
Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.
Bài tập tính trọng tâm của tam giác
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biết AM là đường trung tuyến với M thuộc cạnh BC và AM = 12cm. Tính độ dài đoạn AG và GM?
Lời giải
G là trọng tâm tam giác ABC nên:
AG = 2/3 AM = 2/3 X 12 + 8cm
GM = 1/3 AM = 1/3 x 12 = 4cm
Bài 2: : Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?
Lời giải:
Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).
Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).
Đáp án : đoạn AI có độ dài 6 cm