tinh-chat-truc-tam-cua-tam-giac

Trực tâm là gì?

Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.

  • Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó
  • Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông
  • Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó

Xem thêm

Khái niệm đường cao của một tam giác

Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.

tinh-chat-truc-tam-cua-tam-giac
Tính chất trực tâm tam giác

Tính chất ba đường cao của tam giác

Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.

Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.

Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.

Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

Chứng minh trực tâm của một tam giác.

Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác các bạn không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác rồi.

Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ.

Tuy nhiên đối với tam giác vuông thì việc xác định đường cao có khác một chút. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao của tam giác vì hai cạnh vuông góc với nhau. Chính vì vậy trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của góc vuông.

Bài tập ví dụ chứng minh trực tâm của tam giác

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

Lời giải

Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, AC, AB tại N, M, E

ΔHBC có:

HN⊥BC nên HN là đường cao

BE⊥HC nên BE là đường cao

CM⊥BH nên CM là đường cao

Vậy A là trực tâm của ΔHBC

Ví dụ 2: Co hình vẽ dưới đây :  Chứng minh: CH ┴ AB.

cho-tam-giac-sau

Lời giải:

Tam giác ABC có:

– AF ┴ BC => AF là đường cao.

– BE ┴ AC => BE là đường cao.

Mà AF và BE giao nhau tại H => H là trực tâm của tam giác ABC. (dpcm)

Vậy đường thẳng CH chứa đường cao từ đỉnh C; hay CH ┴ AB.